Ciencias Matemáticas II
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Ciencias Matemáticas II. El objetivo de la presente obra es el de desarrollar con rigor y claridad los principios...
ISBN-10: 84-8259-284-X
ISBN-13: 978-84-8259-284-8
Ciencias Matemáticas II.
El objetivo de la presente obra es el de desarrollar con rigor y claridad los principios esenciales de las matemáticas. Para ello se ha dividido su contenido en dos volúmenes. En el primer volumen se trata sucesivamente de la Aritmética, el Álgebra, la Geometría y la Trigonometría. En el segundo volumen se introduce la Lógica formal, las Estructuras fundamentales, el Análisis, la Combinatoria, la Probabilidad, y la Estadística. En cada capítulo se ha puesto un interés especial en explicar cada tema desde la base, para permitir que el lector menos experto se familiarice pronto con las definiciones matemáticas. A lo largo de toda la obra se incluyen numerosos ejemplos y preguntas de autoevaluación que hacen más asequible la comprensión, a la vez que ilustran las aplicaciones de los nuevos conceptos adquiridos. Igualmente, al final de cada apartado se incluye un Recuerda… cuya misión es la de facilitar el repaso de los conceptos más importantes.
El lenguaje matemático se precia de exactitud. Esta exactitud ha sido el resultado de un largo proceso de maduración. Los griegos crearon una ciencia de las leyes del pensamiento que llamaron Lógica. Aristóteles la sintetizó en su Organon, dándole un carácter instrumental y considerándola como introducción a la filosofía. En relación sobre todo con las sentencias científicas, Aristóteles había formulado dos famosos principios:
–«todo enunciado es verdadero o falso, no hay una tercera posibilidad» (principio del tercero excluido), y
–«ningún enunciado es verdadero y falso» (principio de contradicción).
Ambos principios pueden resumirse en uno solo, llamado principio de bivalencia: «todo enunciado es o verdadero o falso».
Normalmente la lógica que se emplea en matemáticas (y en la ciencia en general) es una lógica bivalente, porque en ella vale el principio de bivalencia.
En 1920 Lukasiewicz propone un nuevo valor de verdad: lo posible; pero como lo posible es indefinidamente extenso, el mismo profesor polaco creó dos años más tarde una lógica polivalente en la que dejan de ser válidos los principios de contradicción y del tercero excluido. En 1965 Zadeh introdujo el concepto de lógica borrosa o difusa, con el fin de estudiar los sucesos cuyas características no pueden estudiarse con una certeza absoluta.
Por ejemplo, supongamos que le pedimos a una persona que escriba a mano una letra cualquiera de las que componen el abecedario, y que luego un lector electrónico debe dilucidar si la letra escrita es o no una «n». La tarea no es sencilla, pues una «n» manuscrita puede parecerse a otras letras (como por ejemplo a una «u»), pero el problema puede resolverse aplicando la teoría de lógica borrosa: si es ciertamente una «n» se le dará un grado de veracidad 1, y si no se parece en nada un grado de veracidad 0; todos los demás valores intermedios se considerarán valores de vaguedad e incerteza. Así a una «n» que parezca una «u» se le puede asignar un grado de veracidad 0.5.
La noción de vaguedad o incertidumbre de la lógica borrosa difiere esencialmente de la noción de probabilidad. En el cálculo de probabilidades la incertidumbre sólo existe antes de ocurrir cada suceso, mientras que en la teoría borrosa la incertidumbre existe en la atribución de una característica al suceso cuando éste ya ha ocurrido.
La teoría de lógica borrosa está siendo utilizada para diseñar microprocesadores que tienen múltiples aplicaciones, desde la compensación de las vibraciones producidas por el temblor de la mano en las cámaras de vídeo, hasta la programación de los sistemas expertos e inteligencia artificial, o desde el control de procesos industriales hasta control de frenado para lograr maniobras más suaves.
Así, hoy en día informáticos y matemáticos de diferentes partes del mundo intentan construir un ordenador borroso, es decir una máquina que no funcione según las normas clásicas del sí o no, sino con la lógica del más o menos, para imitar los mecanismos del pensamiento humano. La informática ha seguido desde sus inicios la lógica bivalente de dispositivos electrónicos en los que la energía pasa o no pasa, y toda la información que procesan tiene que estar traducida a esta condición de unos o ceros, es decir al sistema binario. Sin embargo, nuestra manera de razonar como seres humanos es distinta; sabemos que en el mundo hay más colores que el blanco y el negro.
También en Teoría de números y Álgebra se iniciaron a comienzos del siglo XIX vastos procesos de desarrollo que condujeron, a finales de siglo, a una total transformación del modo algebraico de pensar y a la elaboración de las primeras nociones de estructuras abstractas como la de grupo y cuerpo.
Galois durante su corta e impetuosa vida, falleció a los 21 años en un duelo político, sentó las bases de la teoría de grupos. La noche anterior al duelo la emplea en redactar sus resultados matemáticos y enviarlos a su amigo Chevalier, con la esperanza de que llegasen a Jacobi o Gauss. El punto crucial de sus investigaciones y descubrimientos lo constituyen su aportación al problema de las ecuaciones resolubles por radicales. Desde los tiempos de Cardano y Tartaglia se sabe que las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado son resolubles por medio de radicales. Respecto a la de grado 5, tras siglos de esfuerzos en busca de una solución, Abel demostró que era imposible la existencia de una fórmula con radicales que nos diese el valor de X. El resultado de Abel queda sin embargo englobado en los de Galois. El joven francés, basándose en el estudio de los subgrupos normales del grupo simétrico de orden n, no sólo probó que no había solución para la ecuación de grado cinco, sino tampoco para ninguna ecuación de grado superior al quinto.
Ficha Técnica
- Un excelente libro impreso
- Formato 21.5 x 28.7 x 3.4 cm
- 237 páginas impresas a todo color
- Fina encuadernación en guaflex negro con estampación en oro y rojo
- Edición 2001
- ISBN-10: 84-8259-284-X, 848259284X
- ISBN-13: 978-84-8259-284-8, 9788482592848
- Textos: Josep Lluís Hernández, Profesor de Ciencias. Albert Violant, Licenciado en Ciencias Matemáticas. María Isabel Binimelis, Licenciada en Ciencias Matemáticas. Juan Luis Gutiérrez, Doctor Ingeniero Industrial. José Manuel Berenguer, Matemático. Doctor en Medicina, Profesor de Neuropsicología
- Supervisión y asesoramiento pedagógico: Clara Garí, Licenciada en Historia del Arte
- © Ediciones Nauta
- Fundación Cultural Gromex
Contenido
LÓGICA FORMAL.
Breve introducción histórica a la lógica.
Proposición y lógica de proposiciones.
Concepto de proposición.
Operaciones con varias proposiciones: Negación. Conjunción. Disyunción. Disyunción exclusiva. Doble implicación.
Forma proposicional.
Tablas de verdad de las formas proposicionales.
Clasificación de las proposiciones: Tautología. Contradicción. Proposición indeterminada.
Proceso deductivo.
Implicación lógica.
Reglas de inferencia.
ESTRUCTURAS FUNDAMENTALES.
Conjuntos.
Noción de conjunto.
Definición de conjunto.
Cardinal de un conjunto.
La paradoja de Bertrand Russell.
Pertenencia a un conjunto.
Conjunto complementario.
Conjunto vacío.
Relación de inclusión de un conjunto en otro: Conjunto de las partes de un conjunto.
Relación de igualdad entre conjuntos: Conjuntos disjuntos.
Unión de conjuntos.
Intersección de conjuntos.
Propiedades de la unión de conjuntos: Demostración.
Propiedades de la intersección de conjuntos: Demostración.
Leyes de Morgan: Primera ley de Morgan. Segunda ley de Morgan.
Álgebra de conjuntos: Diferencia de conjuntos. Diferencia simétrica de conjuntos o suma booleana. Partición de un conjunto.
Producto cartesiano entre conjuntos: Par ordenado. Producto cartesiano de dos conjuntos. Representación gráfica del producto cartesiano de dos conjuntos.
Relaciones y correspondencias.
Correspondencia: Representación matricial. Correspondencia inversa. Composición de correspondencias.
Relaciones binarias: Propiedades de las relaciones binarias.
Relación de equivalencia: Clase de equivalencia. Conjunto cociente.
Relación de orden: Relación de orden estricto. Relación de orden amplio. Relación de orden total. Relación de orden parcial. Representación gráfica de un conjunto ordenado. Cotas. Elementos maximal y minimal.
Aplicaciones: Noción de función. Clasificación de las aplicaciones.
Transformaciones y sustituciones.
Leyes de composición y operaciones: Ley de composición interna. Ley de composición externa. Operación. Operaciones y resultados. Propiedades de las leyes de composición interna.
Homomorfismos: Clasificación de los homomorfismos. Ejemplo de homomorfismo.
Conjuntos numerables.
Conjuntos no numerables.
Concepto de estructura algebraica.
Estructuras algebraicas de composición simple: Semigrupo. Generación de subgrupos. Clases laterales. Inducción de la estructura de grupo a un conjunto cociente. Teorema de Lagrange. Ejemplos de grupos y subgrupos. Homomorfismo de grupos.
Estructuras algebraicas de composición binaria: Semianillo. Anillo. Anillo de integridad y dominio de integridad. El anillo de los números enteros. Subanillo. Ideal de un anillo. Cuerpo. El cuerpo de los números racionales. El cuerpo de los números reales. Subcuerpo. Retículos.
Espacios vectoriales.
ANÁLISIS.
Sucesiones, límites y continuidad.
Sucesiones.
Sucesiones monótonas.
Suma de sucesiones.
Producto de sucesiones.
Vecindades y cotas.
Límite de una sucesión: Algunas propiedades de las operaciones con límites.
Función real de variable real: Representación gráfica.
Límite de una función en un punto.
Continuidad: funciones continuas y funciones discontinuas.
Tres teoremas importantes: Teorema de Weierstrass. Teorema de Bolzano. Teorema de Darboux.
Derivadas y diferenciales.
Derivada de una función en un punto.
Derivadas en una dirección.
Interpretación geométrica de la derivada.
Criterio de derivabilidad. Función derivada.
Funciones crecientes y decrecientes.
Teorema de Rolle y teorema del valor medio.
Incrementos y diferenciales. Diferencial de una función.
Segundas derivadas. Derivadas de orden superior: Máximos y mínimos.
Problemas de máximos y mínimos: Problemas.
Derivadas de funciones especiales.
Derivada de la composición de funciones: Regla de la cadena. Regla de l’Hôpital.
Diferencial de una función de dos variables. Gradiente.
Aproximación local.
Aproximación local de una función por un polinomio.
Tres teoremas importantes: Teorema de Rolle. Teorema de Cauchy. Teorema de Lagrange.
La fórmula de Taylor: Aplicaciones de la fórmula de Taylor.
Dibujo de curvas en forma explícita.
Cálculo integral.
Concepto de integración. Integral definida: Función escalonada. Partición. Límite de una sucesión de funciones escalonadas. Uniformidad del límite de una sucesión de funciones escalonadas. Función regular. Integral. Integral definida.
Teorema del valor medio para integrales.
Concepto de función primitiva de una función. Regla de Barrow: Integral indefinida.
Propiedades de las integrales.
Cálculo de integrales.
Obtención de integrales indefinidas.
Integración de funciones trigonométricas compuestas.
Integración de funciones irracionales.
Utilidad y aplicaciones del cálculo integral.
Área de una región plana.
Cálculo de volúmenes.
Cálculo de longitudes de arcos de curvas.
Curvas y superficies parametrizables.
Curvas parametrizables.
Curvatura y torsión.
Fórmulas de Frenet.
Superficies regladas.
La esfera.
Topología real.
Funciones, entornos y continuidad.
Conjuntos abiertos y cerrados: Definición de topología.
Topología de la recta real.
Compacidad y conexión.
COMBINATORIA.
Cardinal de las aplicaciones entre conjuntos.
Cardinal del conjunto de las aplicaciones.
Cardinal del conjunto de aplicaciones inyectivas.
Cardinal del conjunto de aplicaciones biyectivas.
Cardinal del conjunto de aplicaciones exhaustivas.
Variaciones.
Ejemplos.
Variaciones con repetición.
Permutaciones.
Ejemplos.
Permutaciones con repetición.
Ejemplos.
Número de subconjuntos de un conjunto finito.
Combinaciones.
Ejemplos.
PROBABILIDAD.
Consideraciones generales.
Introducción.
Concepto de probabilidad: Espacio muestral. Frecuencia del suceso y frecuencia relativa. Espacio probabilístico y probabilidad.
Cálculo de probabilidades.
Algunos casos simples.
Probabilidad condicionada: Sucesos independientes. El teorema de Bayes.
Leyes de probabilidad.
Ley de probabilidad de una variable discreta.
Ley de probabilidad de una variable continua.
Distribuciones teóricas de probabilidades más frecuentes.
Distribución de Bernouilli.
Distribución de Laplace-Gauss.
Ley teórica de la distribución normal.
ESTADÍSTICA.
Introducción a la estadística.
Efectivos y frecuencias.
Representación gráfica de variables discretas.
Diagramas de barras.
Diagrama poligonal.
Diagrama tridimensional.
Representación gráfica de variables continuas.
Histograma.
Diagrama de frecuencias acumuladas.
Diagramas de sectores.
Medidas de tendencia central.
Moda.
Mediana.
Media aritmética.
Media aritmética ponderada.
Media geométrica.
Medidas de dispersión.
EJERCICIOS.
Enunciados: Lógica formal. Estructuras fundamentales. Análisis. Combinatoria. Probabilidad. Estadística.
Soluciones.
Lógica formal.
Estructuras fundamentales.
Análisis.
Combinatoria.
Probabilidad.
Estadística.
